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analyse_spectrale

 

Qu'est-ce que le développement en série de Fourier ?

 

Joseph Fourier (1768-1830) est un physicien français qui participa à la campagne d'Egypte avec Bonaparte. Pour la "petite histoire", c'est lui qui a établi les plans des plus célèbres monuments d'Egypte. Il fut également Préfet d'Isère, professeur à l'Ecole Polytechnique et membre de l'Académie des Sciences. On lui doit la définition des séries portant son nom et des résultats novateurs sur le développement en séries trigonométriques de fonctions numériques.

Le développement en série de Fourier est basé sur la découverte que toute fonction périodique du temps x(t) peut être décomposée en une somme infinie de sinus et cosinus dont les fréquences commencent à zéro et augmentent par multiples entiers d'une fréquence de base f0 = 1/T, où T est la période de x(t).

 

Ce développement se présente ainsi :

joseph_fourier.jpg

serie_fourier.gif

 
  

La transformation de Fourier est l'une des méthodes utilisées fréquemment en analyse spectrale. On désigne ainsi l'ensemble des méthodes que l'on utilise pour mettre en évidence les composantes périodiques (c'est à dire obéissant à des cycles) présentes dans une courbe.

 

Un exemple :

  • Les courbes 1 et 2 sont les représentations graphiques de fonctions sinusoïdales de même amplitude mais de fréquences différentes. Ces fonctions sont périodiques. On appelle période T le plus petit intervalle de temps au bout duquel la fonction reprend la même valeur. La fréquence f est l'inverse de la période (f = 1/T). Si la période est exprimée en seconde alors la fréquence représente le nombre de périodes par seconde et s'exprime en hertz (Hz). Ici on a choisi les périodes telles que la période T1 soit deux fois plus grande que la période T2. L'analyse spectrale permet de retrouver chaque fréquence. On voit que f2 est le double de f1.


fourier1.jpg 

 

  • La courbe qui résulte de la combinaison des deux fonctions précédentes est caractérisée par deux composantes périodiques. L'analyse spectrale permet de retrouver les deux fréquences du signal : f1 et f2.

fourier2.jpg 

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