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Les types de modèles

Les modèles déterministes continus

 

Les modèles déterministes continus voient le jour au début du XXème  siècle avec les travaux de Hamer (1906) qui propose que le nombre de nouveaux cas pour une maladie infectieuse dépend du nombre de sujets sains (réceptifs à l’infection donc), du nombre de sujets infectés (déjà atteints) et d’un coefficient de proportionnalité qui représente le taux de contagion (il intègre la capacité de l’agent infectieux à être transmis, la fréquence des contacts entre sains et infectés…).

 

Ces modèles seront ensuite développés et complexifiés en ajoutant de nouveaux groupes dans la population et de nouveaux flux afin de mieux rendre compte de l’évolution de la propagation d’une infection.

 

Ce sont des modèles compartimentaux :

 

Ils mettent donc en relation des compartiments ou « boîtes » contenant une population homogène c’est à dire des individus ayant tous le même statut vis à vis de l’infection et n’en changeant pas au sein de cette boîte. Un individu changeant d’état (infection, guérison) change donc de compartiment. Les flux entrant et sortant de ces compartiments permettent de faire varier les effectifs des compartiments.

 

Il s’agit de modèles déterministes :

 

Ce sont les conditions initiales qui déterminent l’évolution du système. Les flux entre compartiments ne dépendent que des effectifs des compartiments et des coefficients de proportionnalité en jeu (taux de contagion, de guérison…). Les mêmes conditions initiales produiront toujours la même évolution ; ces modèles ne sont pas probabilistes.

 

Ce sont des modèles en temps continu :


Le modèle décrit le nombre de nouveaux cas par intervalle de temps dt et non pas le nombre d’individus infectés après chaque pas de temps (jour, semaine, mois…). L’évolution décrite est donc continue et non pas ponctuelle. Le modèle fait donc intervenir des équations différentielles.

 

 

 

Différents types de modèles, plus ou moins complexes, ont été construits : modèles simples, modèles généraux, modèles récurrents.
 

Nous présenterons ici les deux exemples les plus classiques.

  • Le modèle déterministe simple ou modèle de type SI :

 

Il s’agit du modèle que W.H. Hamer a développé en 1906. Il postule au départ qu’il n’y a ni décès ni guérison. Les sujets qui sont infectés le restent et demeurent contagieux. De plus les populations d’individus sains et d’individus infectés sont en permanence en contact. L’infection s’établit par contact direct entre un individu infecté et un individu sain.

Ce modèle comprend donc deux compartiments :

S = Sains ou Susceptibles c’est à dire les individus réceptifs à l’agent infectieux qui ne sont pas contaminés mais peuvent le devenir.

I = Infectés, ce sont les individus atteints et qui sont donc contagieux.

Un flux s’établit entre S et I. Il dépend du nombre d’individus sains, du nombre d’individus contagieux et d’un coefficient de proportionnalité ß appelé taux d’infection ou taux de contagion. L’existence de ce taux signifie que tous les contacts entre sains et contagieux n’ont pas obligatoirement lieu pendant l’intervalle de temps et qu’un contact n’est pas systématiquement contaminant. ß dépend donc de nombreux facteurs biologiques mais aussi sociologiques ou économiques.

L’effectif de S sera appelé x et l’effectif de I sera appelé y.

Le nombre de nouveaux cas atteints par l’infection pendant l’intervalle de temps dt sera = ß x y.

Dans le même temps la population d’individus sains diminuera du même nombre.

 

Cela conduit à deux équations différentielles :

 

 

dx/dt = - ß x y
dy/dt = ß x y
 
avec x + y = N la population totale

 

 
 
 schéma d'un modèle SI
 
 

 

  • Le modèle déterministe général ou modèle de type SIR :

 

Il s’agit du modèle proposé par Kermack et Mc Kendrick au début du XXème siècle.

C’est un modèle à trois compartiments :

On retrouve les compartiments S (Susceptibles) et I (Infectés). On introduit un nouveau compartiment, R (Retirés) qui correspond à la population qui quitte le compartiment des infectés par guérison, décès causé par la maladie, mort accidentelle…

Le flux s'établissant entre I et R dépend du nombre d'infectés et d'un coefficient de proportionnalité y appelé taux de retrait déduit des observations.

 

L’effectif de R sera appelé z.

Le nombre d’individus entrant dans le compartiment R pendant l’intervalle de temps dt sera = γ y.

Dans le même temps la population d’individus infectés diminuera du même nombre.

On aboutit aux trois équations différentielles suivantes :

 

 

dx/dt = - ß x y
dy/dt = ß x y - γ y
dz/dt = γ y
 

avec x + y + z = N la population totale

 

 

 
 schéma du modèle SIR
 
 

 

Le théorème du seuil :
 

L’étude du modèle de type SIR a permis d’établir ce théorème.

En effet, il n’y a épidémie que si le nombre d’individus infectés augmente au cours du temps et donc que si à chaque intervalle de temps dt un nombre de nouveaux cas apparaît.

Ceci implique que :

 dy/dt > 0    donc    ß x y - γ y > 0 donc ß x y > γ y

On trouve alors que pour qu’il y ait épidémie il faut que ß x > γ et donc x > γ/ß

Cela signifie que le déclenchement d'une épidémie ne dépend pas du nombre d'infectés mais du nombre de susceptibles. Ce dernier doit être supérieur à γ/ß appelé taux de retrait relatif ρ.

 

 

On comprend alors que pour empêcher une épidémie il faut diminuer le nombre susceptibles, par exemple par vaccination.

 

 

  • Les autre modèles de type SIR :

 

Ils découlent tous des mêmes principes de base énoncés précédemment mais introduisent des degrés de complexité variés :

- SIRS : immunisation temporaire ; les individus du groupe R réintègrent après un délai le groupe des susceptibles.

- SEIR : introduction d'une période de latence et donc d'un nouveau compartiment avant la déclaration des symptômes.

- SIA : cas particulier du SIDA avec introduction d'un compartiment d'individus infectés ne développant pas la maladie.

- Introduction de la dynamique vitale : on tient compte alors des naissances et des décès dans les différents compartiments.

On peut également modéliser des infections touchant simultanément l'être humain et un parasite, des infections avec des groupes à risque différents parmi les susceptibles ainsi que de nombreux autres cas très variés.