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Les logarithmes et les exponentielles

Par Aude Caussarieu, publié le 28/05/2018, mise à jour le 28/09/2018
Logarithme népérien et exponentielle, logarithme décimal et puissance de dix

[En cours de rédaction]

Les logarithmes

Usages du logarithme

Usages du logarithme en sciences

L'analyse des usages du logarithme en physique-chimie montre qu'il y a en gros deux grands domaines d'usage :

  • Pour étudier des phénomènes dont les grandeurs caractéristiques (notion d'échelle) varient sur plusieurs ordres de grandeur. Puisque nous comptons en base 10, c'est le logarithme décimal qui est principalement utilisé, en lien avec les puissances de 10.
    • Chimie des solutions : calculs de pH
    • Electricité : diagramme de Bode
    • Ordres de grandeurs : les échelles de l'atome à l'univers
    • Physique des ondes : intensité sonore et niveau sonore, échelle de Richter pour les tremblements de Terre, ...
    • Physique expérimentale : étude des lois de puissance
  • Pour étudier des systèmes linéaires dont les solutions font intervenir des exponentielles (ED premier et second ordre). Dans ce cas, c'est le logarithme népérien qui est utilisé.
    • Électricité : charge et décharge d'un condensateur (ou d'une bobine), oscillations dans un circuit RLC
    • Mécanique : oscillations
    • Nucléaire : Évolution d'une population
    • Chimie des solutions : cinétique d'une réaction

ATTENTION : Le problème des dimensions...

- Dans le secondaire, le pH est défini par pH=-log([H3O+]) et on demande donc aux élèves de prendre le logarithme d'une quantité dimensionnée!!!
- Le niveau sonore est exprimé en dB, ce qui peut amener à des confusions sur l'adimensionnalité du logarithme...

Savoir-faire associés à la manipulation des logarithmes en sciences

Plusieurs savoir-faire sont associés à la manipulation des logarithmes :

  • Utiliser la réciprocité du logarithme népérien ou décimal pour trouver une valeur
    • Avoir compris quand utiliser le logarithme décimal ou le logarithme népérien, en particulier avec la calculatrice
  • Mener un calcul littéral avec des logarithmes décimaux ou népériens
    • Utiliser la formule ln(ab)=ln(a)+ln(b)
    • Utiliser les formules ln(e(x))=x et log(10^x)=x
  • Utiliser une échelle logarithmique ou semi-logarithmique
    • Lire un graphe à 1 ou 2 dimensions en échelle logarithmique

 

Une compréhension plus fine de la fonction logarithme est nécessaire pour comprendre les grandeurs physiques qui sont construites avec un logarithme comme le pH ou le gain en décibel d'un filtre.

  • Relier les variations d'une variable aux variations du logarithme de cette variable
    • Ex : quand le pH augmente de 1, cela signifie que la concentration en ions [H3O+] a été multipliée par 10

 

Usages du logarithme en mathématiques

En mathématiques, le logarithme est introduit soit comme la fonction réciproque de l'exponentielle, soit en lien avec les suites ## À PRÉCISER##

En pratique, seul le logarithme népérien est utilisé en mathématiques. Les exercices qui font appel aux logarithmes sont des exercices qui demandent aux élèves :

  • d'étudier de fonctions composées
  • de trouver des seuils

Les erreurs fréquentes des étudiant.e.s

  • Utiliser la réciprocité du logarithme népérien ou décimal pour trouver une valeur
    • Se tromper de touche sur la calculatrice pour obtenir la valeur
    • Oubli du signe - quand il y en a un
      • Activité de remédiation : travailler sur le sens et les ordres de grandeurs des grandeurs manipulées, un pH négatif ce n'est pas possible, 10^8 mol.L-1 c'est impossible aussi
  • Mener un calcul littéral avec des logarithmes décimaux ou népériens
    • Mélange des formules : ln(ab)=ln(a)+ln(b) devient ln(a+b)=ln(a)+ln(b)
      • Activité de remédiation : Travailler sur la construction de la fonction logarithme
      • Activité de remédiation : Tester la formule sur quelques valeurs avec la calculette (et aussi avec les puissances de 10)
    • Mélange dans le rôle des différentes lettres :
      • a = c x log b devient b = 10a
      • a = log b devient a = 10b
      • log (a.10x) = x log (a)ln(10^n)=n
      • Remédiation?
    • Le logarithme n'est pas vu comme une fonction : ln(a)/ln(b)=a/b
      • Remédiation : demander à l'étudiant d'écrire f(a) à la place de ln() dans les formules
  • Utiliser une échelle logarithmique ou semi-logarithmique
    • Penser que l'échelle varie linéairement entre deux graduations
    • Penser que la première graduation après la puissance de 10 correspond au digit 1 et non 2
    • Lire "à l'envers" les graduations pour les sous multiples de 10