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Mesure du rayon de la Terre par la méthode d'Eratosthène

Ce document retrace le travail fait par des professeurs de physique-chimie à la Cité scolaire internationale de Lyon, pendant l'année 2013-2014 en classe de seconde en lien avec des travaux de l'équipe ACCES de l'Ifé au cours du projet "Dans les pas d'Eratosthène".


Mesure du rayon de la Terre par la méthode d'Eratosthène

Véronique Thévenot

Cité scolaire internationale, Lyon

Virginie Kergoat

Cité scolaire internationale, Lyon

Christophe Blond-Butlen

Cité scolaire internationale, Lyon

Gérard Vidal

ENS de Lyon, Institut français de l'Éducation

Charles-Henri Eyraud

ENS de Lyon, Institut français de l'Éducation, équipe ACCES

Publié par

Gérard Vidal

ENS de Lyon, Institut français de l'Éducation, équipe ACCES

2014-05-21

Résumé

Ce document retrace le travail fait par des professeurs de physique-chimie à la Cité scolaire internationale de Lyon, pendant l'année 2013-2014 en classe de seconde en lien avec des travaux de l'équipe ACCES de l'Ifé au cours du projet "Dans les pas d'Eratosthène".

Il comprend un aperçu historique à l'usage du professeur qui permet de replacer le travail d'Eratosthène en perspective et permettra permet d'ouvrir l'activité sur des thèmes de convergence (l'histoire des sciences, la démarche scientifique…).

Il est suivi d’une séance de pratiques expérimentales réalisée avec les élèves, dont l’objectif est de :

déterminer le rayon de la Terre selon la méthode imaginée par Eratosthène (284 à 193 avant J.C.)

faire le lien entre un modèle (la maquette) et le réel

Les annexes comprennent un texte historique, une bibliographie, des éphémérides interactifs et des videoconférences faites à l'Ifé avec des classes du monde entier.


Table des matières

Mesure du rayon de la Terre par la méthode d'Eratosthène

Contexte historique

Comment les Anciens sont-ils parvenus à calculer le diamètre de la Terre ?

De la terre plate à la terre sphérique

Au VIème siècle avant J.C., si on pensait que la Terre était plate, on l'imaginait « ronde » comme un disque. Cela suffisait à expliquer les éclipses. La géométrie, discipline dominante chez les Grecs, est en plein essor au VIème siècle. A cette époque, Pythagore fonde son école, dont la pensée est que les secrets de la nature sont dans ceux des nombres.

Anaxagore, un précurseur du philosophe Socrate, au Vèmesiècle, ne voyait plus le Soleil et la Lune comme des divinités, mais plutôt comme des boules incandescentes dans le ciel. Il faillit être mis à mort pour impiété. Les observations dont Eratosthène allaient se servir sur les ombres au solstice d'été à Syène et Alexandrie étaient connues, mais on ne pouvait pas les exploiter correctement car on imaginait encore la Terre plate.

Puis, peu à peu l'idée de la sphéricité de la Terre s'imposa, jusqu'à être totalement acceptée au IVème siècle. Pour Platon, la sphéricité de la Terre ne faisait aucun doute car la sphère est la figure parfaite par excellence. C'est là un argument dont l'origine est une idée et non pas un fait observable. Aristote, disciple de Platon, n'acceptait que des conclusions qui reposent sur l'expérience ou le sens commun. Il décrit donc un ensemble d'observations, comme le fait qu'onn'observe pas les mêmes étoiles selon qu'on est au nord ou au sud. C'est donc à Aristote que revient le mérite d'avoir rédigé la preuve que la Terre est ronde (dans le Traité du Ciel, voir annexe).

Alexandrie, ville d'Egypte, fut fondée par Alexandre le Grand. Au IIIème siècle, on y construisit la Grande Bibliothèque qui rassemblait tout ce qu'on connaissait à l'époque. La ville supplanta Athènes comme centre intellectuel du monde antique.

Eratosthène

Eratosthène est un écrivain de langue grecque, né vers 276 av. J.C. à Cyrène à l'Ouest d'Alexandrie où il passa la fin de sa vie comme directeur de la Bibliothèque. Il est connu comme astronome, géographe, philosophe et mathématicien. Il s'est rendu célèbre pour sa mesure de la circonférence de la Terre. Si d'autres avant lui avaient proposé des chiffres, il est le premier dont on connaisse sa méthode.

Eratosthène (né vers 276, mort vers 194 av. J.C.)

Domaine public

Figure 1. Eratosthène (né vers 276, mort vers 194 av. J.C.)

On peut aussi aussi citer, en mathématique, le crible d'Eratosthène, qui est une méthode pour déterminer les nombres premiers par exclusion. On dit que, devenu aveugle avec l'âge et les études, Eratosthène se laissa mourir de faim car il ne pouvait plus contempler le ciel.

Au siècle suivant, Alexandrie a produit un autre astronome et géographe célèbre : il s'agit de Claude Ptolémée, dont l'œuvre majeure, l'Almageste, nous est parvenue par les Arabes. Il y a fait la synthèse des connaissances de l'Antiquité en astronomie, selon lesquelles on a décrit le mouvement des planètes jusqu'à la révolution copernicienne (XVIème siècle).

C'est vers 250 avant J.C. que s'effectuèrent les premières tentatives de la mesure du diamètre de la Terre. Eratosthène, raisonna ainsi : Syène (actuellement Assouan) était une ville dont la latitude se situait à 23,5 degrés Nord, c'est-à-dire sur le Tropique du Cancer. Les Anciens savaient que, entre les lignes des Tropiques, le Soleil passe au zénith au moins une fois par an. Pour le Tropique du Cancer, la date est unique et tombe le jour du solstice d'été, jour où le soleil est au plus haut dans le ciel. A Syène, et à tout endroit ayant une latitude Nord de 23,5 degrés (Tropique du Cancer), le jour du solstice d'été [1] à midi solaire, le Soleil est au zénith ; on peut voir sa lumière au fond d'un puits creusé verticalement. Mais à la même date et à la même heure, dans la ville d'Alexandrie située plus au Nord (31 degrés de latitude Nord), on constate que les rayons du soleil n'atteignaient pas le fond des puits. Ils faisaient un angle de 7,5 degrés par rapport à la verticale.

D'autre part, Eratosthène connaissait la distance entre Syène et Alexandrie : en effet, pour aller de Syène à Alexandrie, il fallait 50 jours à une caravane de chameaux qui parcourait une distance quotidienne de 100 stades ; le stade était l'unité de longueur et valait environ 160 m. Connaissant la distance entre ces deux villes, on arriva au raisonnement suivant : les rayons du Soleil arrivent tous sur la Terre parallèles entre eux. Si la Terre était plate, les rayons arriveraient aussi bien àla verticale d'Alexandrie qu'à la verticale de Syène. Or, on constate une différence de 7,5 degrés.

Eclairement de la Terre lors du solstice d'été

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 2. Eclairement de la Terre lors du solstice d'été

Des calculs d'Anaxagore à ceux Eratosthène

C'est donc au IIIème siècle, à Alexandrie, devenue le centre intellectuel du monde connu, en Egypte où l'on avait observé l'effet du solstice d'été sur les ombres, que toutes les conditions étaient réunies pour la mesure de la circonférence de la Terre.

Le schéma gauche de la figure ci-dessous représente les ombres dans la première hypothèse, la Terre plate comme un disque. Le Nord est donc vers la gauche de cette figure.

Le schéma droit de la figure ci-dessous représente les ombres dans la deuxième hypothèse, celle de la Terre sphérique. Le Nord est vers le haut de la sphère.

Schémas d'après les hypothèses d'Anaxagore (à gauche) et d'Eratosthène (à droite)

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 3. Schémas d'après les hypothèses d'Anaxagore (à gauche) et d'Eratosthène (à droite)

Anaxagore et Eratosthène partent des mêmes observations :

  • absence d'ombre à Syène,
  • mesure de l'ombre de l'obélisque à Alexandrie et donc de l'inclinaison des rayons solaires à Alexandrie,
  • distance entre Alexandrie et Syène connue ;

Leurs hypothèses sont différentes (Terre plate ou sphérique), et leurs raisonnements géométriques les conduisirent à des conclusions cohérentes, mais différentes.

Les voici résumées dans un extrait d'après Une étoile nommée Soleil , de G. Gamow :

« Anaxagore prétendit que le Soleil flottait à environ 6500 km de la surface de la Terre. Son raisonnement était assez logique. Des voyageurs revenant de la ville de Syène lui avaient appris que le jour du solstice d'été, à midi, le Soleil se trouve au zénith. Il savait d'autre part qu'à Alexandrie, 5000 stades (1 stade ≈ 160 m) au nord de Syène, le Soleil, ce même jour à midi, était à peu près à sept degrés du zénith. Croyant la Terre plane, il traça une figure, d'où il conclut que la hauteur du Soleil au-dessus de la Terre était égale à 6500 km. »

« Le calcul mathématique d'Anaxagore était correct, mais ses prémisses étaient fausses (la Terre n'est pas plane !). Deux siècles plus tard, son raisonnement fut repris par Eratosthène, pour qui la différence des positions du Soleil au solstice à Alexandrie et à Syène était imputable, non à la distance de celui-ci à la Terre, mais à la courbure de celle-là. Il supposa que le Soleil était assez éloigné pour que ses rayons frappent la surface terrestre en faisceaux parallèles ; il put alors conclure, à l'aide d'un schéma, que la Terre était une sphère de rayon voisin de 6500 km. »

Poster réalisé par les élèves sur la méthode d'Eratosthène

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 4. Poster réalisé par les élèves sur la méthode d'Eratosthène

Approche théorique et réflexion sur la maquette

L'activité proposée ici permet de reproduire le raisonnement d'Eratosthène par la géométrie (à l'aide d'une maquette)

Maquette avec puits et obélisque, présentée à la fête de la science

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 5. Maquette avec puits et obélisque, présentée à la fête de la science

Projecteur modélisant le soleil et ses rayons parallèles
Figure 6. Projecteur modélisant le soleil et ses rayons parallèles

Maquette et matériel

  • Maquette : sphère de polystyrène (décorée, avec les points représentant Alexandrie et Syène)
  • Un rapporteur
  • Grandes aiguilles
  • Mètre ruban
  • Source de lumière éloignée (8 mètres); projecteur de diapositives
  • Règle graduée

Pourquoi peut-on dire que les rayons du Soleil arrivant sur la portion allant de Syène à Alexandrie sont-ils parallèles ?

Piste de réflexion : penser à la distance Terre–Soleil

Réponse : car le soleil est très éloigné de la terre

Extrait du poster : tous les rayons sont parallèles
Figure 7. Extrait du poster : tous les rayons sont parallèles

Réaliser un schéma de la Terre avec les rayons du soleil au solstice d'été

Dessiner la terre avec l'axe des pêles, l'équateur et les tropiques

Représenter un puits à Syène (sur le Tropique du Cancer) et un obélique à Alexandrie (latitude 30°N)

Représenter les rayons du soleil le jour du solstice d'été d'hémisphère Nord

Estimer la distance entre Syène et Alexandrie.

Piste de réflexion : se référer au texte

Réponse : 100 stades en 50 jours soit 5000 stades

1 stade équivaut à 160m donc la distance entre les deux villes est de 800000m soit 800km

A partir des informations contenues dans le document, calculer le rayon terrestre.

Piste de réflexion : penser à la règle de trois

Réponse : On constate un angle de 7,5° pour une distance entre les deux villes de 800km

Donc pour un angle de 360° on a une distance de 360 x 800 /7,5 = 38400km qui correspond au périmètre de la terre. On en déduit le rayon de la terre sachant que P=2.α.R

Soit R= 6114km

Calculer l'écart relatif par rapport à la valeur réelle du rayon terrestre soit R = 6400 km.

Piste de réflexion : l'écart relatif est à ramener à la valeur réelle, n'a pas d'unité et est à exprimer en %

Réponse : écart relatif (6400-6114)/ 6400 = 0,045 soit 4,5%

Approche expérimentale et mesures

Le dispositif

L'activité proposée ici permet de reproduire le raisonnement d'Eratosthène par le calcul (à l'aide de la trigonométrie).

La maquette permet de reproduire l'expérience sur une table d'élève avec une source lumineuse qui fournit un faisceau quasi parallèle.

Un rapporteur représente la Terre en coupe, et deux baguettes sont placées dans le plan vertical

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 8. Un rapporteur représente la Terre en coupe, et deux baguettes sont placées dans le plan vertical

Les consignes

Disposer l'ensemble de façon à ce qu'aucune n'ombre n'apparaisse au pied de la baguette plantée en S (qui représente le puits à Syène).

Mesurer à l'aide du mètre ruban les longueurs

  •  longueur de l'arc SA "distance Syène-Alexandrie" SA=6,5cm
  •  hauteur h "hauteur de l'obélisque" h=6,0cm
  •  longueur d "longueur de l'ombre de l'obélisque" d=2,8cm
Mesurer la hauteur h de la tige plantée en A (Alexandrie) : h=6 cm

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 9. Mesurer la hauteur h de la tige plantée en A (Alexandrie) : h=6 cm

Mesurer la longueur  de l'ombre de la tige sur la sphère d=2,8 cm

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 10. Mesurer la longueur  de l'ombre de la tige sur la sphère d=2,8 cm

Montrer que tan α = d/h

On le démontre avec les angles internes ; externes sur la figure de l'approche théorique

En déduire la valeur de α en radian.

Les élèves calculent α=0,44 rad (soit 25°)

A partir des valeurs de SA et de α, calculer le rayon R de la maquette

(pour rappel SA = Rα).

Les élèves calculent R=6,5/0,44 = 14,7

Vérifier la valeur trouvée sur le rapporteur à l'aide du mètre ruban.

En effet les rapporteurs ont un rayon d'environ 16 cm…et retrouvent l'ordre de grandeur…

Annexes

Aristote et la forme de la Terre

Aristote

Aristote est un philosophe grec né à Stagire en Macédoine (d’où le surnom de « Stagirite »), en 384 av. J.C., mort à Chalcis, en Eubée, en 322 av. J.-C. Dans son ouvrage "Du ciel, II,. 14 » Trad. Paul Moraux, Ed Belles Lettres, 1965 il montre à l'aide les raisons qui font penser que la terre est sphérique.

Sphéricité de la Terre

Argument tiré des éclipses de lune : On s'en aperçoit encore grâce aux phénomènes qui tombent sous les sens. Autrement, les éclipses de lune ne présenteraient pas les sections que l'on sait. En fait, lors de ses phases mensuelles, la lune offre tous les types de divisions (elle est coupée par une ligne droite ou se fait biconvexe ou creuse), mais lors des éclipses, elle a toujours une ligne incurvée comme limite. Par conséquent, comme l'éclipse est due à l'interposition de la terre, c'est le profil de la terre qui, à cause de sa forme sphérique, produit cette figure.

Grandeur de la Terre

La manière dont les astres nous apparaissent ne prouve pas seulement que la terre est ronde, mais aussi que son étendue n'est pas bien grande. En effectuant un déplacement minime vers le sud ou vers l'Ourse, nous voyons se modifier le cercle d'horizon; par suite, les astres d'au dessus de nous changent considérablement, et ce ne sont pas les mêmes qui brillent au ciel quand on va vers l'Ourse et quand on va vers le midi. Certains astres visibles en Egypte ou dans le voisinage de Chypre sont invisibles dans les régions septentrionales...

Chez les mathématiciens, ceux qui tentent de calcule la longueur de la circonférence terrestre la disent d’environ quarante myriades de stades ..... En se fondant sur ces preuves, on conclura que, de toutes nécessités, la masse de la Terre est non seulement sphérique, mais en outre n’est pas bien grande par rapport aux dimensions des autres astres.

Cléomède et la mesure d'Eratosthène

Cléomède, Théorie élémentaire (de motu circulari corporum caelestium) : Texte présenté, traduit et commenté par R. Goulet, Vrin, « Histoire des doctrines de l’antiquité classique », 1980,

On connait mal la vie de Cleomède qui vécu entre 50 avant et 100 après J.C. On connait un seul ouvrage de lui "Cyclice theoria" ou "Théorie circulaire des corps célestes". Cléomède y décrit notament les procédés utilisés par Ératosthène et Posidonios pour calculer la longueur du méridien terrestre .

« Le procédé d'Ératosthène, qui relève de la géométrie, passe pour un peu plus obscur. Pour clarifier son propos, nous allons formuler les diverses hypothèses de départ. Posons en premier lieu, dans ce cas aussi, que Syène et Alexandrie sont sous le même méridien ; en second lieu, que la distance entre les villes est de 5 000 stades ; en troisième lieu, que les rayons émis par différentes parties du soleil sur différentes parties de la terre sont parallèles, ce que les géomètres prennent pour hypothèse ; en quatrième lieu, ce qui est démontré par les géomètres, que les droites qui coupent des parallèles déterminent des angles alternes égaux ; en cinquième lieu, que les arcs interceptés par des angles égaux sont semblables, c'est-à-dire qu'ils sont dans la même proportion et le même rapport avec leurs cercles propres, ce qui est également démontré par les géomètres, car chaque fois que des arcs sont interceptés par des angles égaux, si l'un d'eux, n'importe lequel, est la dixième partie de son cercle propre, tous les autres seront la dixième partie de leurs cercles propres. »

Bibliographie

Oeuvres d'Eratosthène

  • Le traité des mesures (de la Terre), est attesté par Héron d’Alexandrie (65 après J.C.) et Macrobe (400 après J.C.). Cléomède (2e siècle après J.C.) décrit précisément le procédé dans « Le Mouvement circulaire des corps », I, 10 1-6
  • Arsinoe (mémoire sur la reine Arsinoe; perdu; mentionné par Athenaeus dans Deipnosophistae)
  • Collection de fragments de mythes Hellenistic sur constellations, appelé Catasterismi (Katasterismoi), a été attribué à Eratosthène, peut-être pour ajouter à sa crédiblité
  • Le livre « Géographie » est décrit et critiqué par Strabon (65 avant J.C.-24 après J.C.)

Ouvrages ou articles sur Eratosthène

  • Eratosthène de Cyrène, le pionnier de la géographie, Germaine Aujac, Editions CHTS, 2001
  • Nombreux articles du Bulletin de l'Union des Professeurs de Physique et Chimie dont Bup 105, octobre 2011, Quelques éléments historiques et didactiques sur l’expérience d’Ératosthène par Nicolas Decamp et Cécile de Hosson.

Conclusion

Les objectifs pédagogiques du projet

  • Comprendre le raisonnement scientifique qui conduit à faire une mesure dans le domaine des très grandes longueurs (on pourrait parler de l'infiniment grand, en relation avec l'époque de la mesure).
  • De la représentation au réel : faire le lien entre le modèle (la maquette) et le réel.
  • Avoir un recul critique sur le résultat de la mesure : notions d'ordre de grandeur et d'incertitudes.
  • Ouverture sur l'histoire des sciences
  • Transversalité : mathématiques (angles alternes, triangulation) ; géographie (l'Egypte), le Globe (méridiens, tropique)

Prolongements

Cette activité illustre comment on pouvait mener des raisonnements scientifiques très aboutis.

  • avec les moyens techniques modestes dont disposaient les Anciens,
  • mais aussi avec un effort conceptuel immense pour bouleverser les représentations de leurs croyances
  • et enfin avec les découvertes de l'époque en géométrie.

Mais il est d'autres exemples où les Anciens ont affirmé des choses fausses car il entrait dans leur démonstration une part de spéculation, c'est-à-dire de raisonnements issus de suppositions ou de croyances.

L'investissement des élèves dans le contexte historique, le projet, ainsi que dans le film, leur a permis de mieux maitriser l'ensemble de la méthode et les calculs.

On peut imaginer des prolongements si des lycéens souhaitent refaire l'expérience le 21 juin prochain. Pour cela, il faut 2 villes distantes, par exemple Lyon et Madrid.

Il faudra alors modifier le protocole et des questions se posent :

  • Aucune des deux villes ne se trouvent sur la ligne du tropique

    Pour les 2 villes, un bâton planté verticalement aura une ombre à midi le jour du solstice, mais une ombre différente. Comment peut-on connaître la différence de latitude entre les deux villes ?

  • Les deux villes ne sont pas sur le même méridien

    Quelle est la conséquence pour faire la mesure des ombres ? Quelle est la conséquence pour la distance à prendre entre les deux villes ?

Ainsi, s'il y a beaucoup de possibilités d'activités à partir de la mesure d'Eratosthène, c'est bien parce que la mesure n'est finalement pas très difficile et que, autour de celle-ci, et selon les centres d'intérêt de l'enseignant et de la classe, on peut faire toute sorte de développement sur des thèmes transversaux : histoire, géographie, géométrie, incertitudes… Cette activité est donc une source d'enrichissement certaine pour les élèves, ce qui explique sans doute sa popularité.

Les éphémérides dans les villes partenaires

Ephemerides1

Les éphémérides en tout lieu

Ephemerides2

Film réalisé à la CSI - Videoconférences

La maquette et la mesure présentée en vidéo

Figure 11. Les élèves de la CSI présentent leur maquette et le principe de la mesure

Vidéoconférences

Chitré 2008

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 12. Chitré, Panama

Lafrançaise 2008

Cette illustration est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

Figure 13. Lafrançaise, France



[1] Solstice d'été : Le solstice est un événement astronomique qui se produit lorsque la position du Soleil par rapport au plan de l'équateur, vue de la Terre, atteint sa position extrême méridionale ou septentrionale (déclinaison extrêmale). Par extension, le "jour du solstice" est abrégé en "solstice" et désigne le jour de l'année pendant lequel l'évènement se produit. Lors du solstice d'été d'hémisphère nord, à midi solaire local, le soleil atteint sa hauteur maximale de l'année en tout lieu situé au nord du tropique du Cancer. Il est donc facile de savoir que c'était le le même jour du solstice d'été lorsqu'on a fait une mesure de hauteur méridienne du soleil en deux lieux différents.