Modélisation d'une épidémie par des billes

Principe:

Une bille est un individu, son état par rapport à l'épidémie est visualisé par la couleur de la bille. On s'appuie sur le modèle SIR pour Sain/ Infecté/ Remis, modèle mathématique de type REED et FROST. Les Sains peuvent être nommés susceptibles, les Infectés, contagieux et les Remis, retirés ou rétablis. L'effectif des individus Sains, Infectés et Remis constitue autant de compartiment(s). L'évolution de l'épidémie est suivie grâce à des tirages de billes successifs: au contact de l'Infecté qui est contagieux, le Sain devient Infecté et l'Infecté devient Remis donc rétabli, dès le tirage  suivant ; ou bien il reste contagieux et son rétablissement est différé d'un ou deux tirages.

A partir d'un effectif initial, on compte l'évolution du nombre d'individus de chaque compartiment au cours du temps.

On peut faire varier des paramètres comme par exemple:

• "confinement" en disposant un nombre variable de séparateurs
• "vaccination" en disposant un nombre variable d'individus vaccinés.

Pour le niveau lycée, il est indispensable de faire appel aux probabilités et donc de travailler en bi-disciplinarité avec l'enseignant de mathématiques.

Une fiche technique fournit les indications nécessaires à la réalisation des supports matériels.

Travail inter-disciplinaire: B2i, Mathématiques et Sciences de la Vie et de la Terre; des photographies et fchiers de résultats avec un tableur (excel) montrent l'aspect pratique , et un document explique l'arbre des probabilités (niveau lycée)

exemple d'activités en collège 

exemple d'activités en lycée

fiche laboratoire

Exemples d'activité élèves en collège:

Les probabilités ne sont pas connues donc on peut fixer au départ que un Infecté infecte ses deux voisins latéraux sur la planche, l'Infecté initial devient alors Remis.

Ou bien, en utilisant des séparateurs, le risque de contamination est de 100% entre 2 séparateurs; deux séparateurs déterminent une "famille très confinée" ou une "maison", donc une boîte.

• L'effectif minimal est de 30 individus; en deça, les résultats sont trop immédiats et non exploitables pédagogiquement.
• On peut modifier entre chaque groupe le nombre d'infectés initial.
• On peut introduire des individus vaccinés pour modéliser l'impact de la vaccination sur le développement de l'épidémie et modifier entre chaque poste élève, le nombre de vaccinés. On rappelle qu'une couverture vaccinale de 80% est un objectif de santé publique fréquent.
• On peut tracer les résultats graphiques grâce à Excel en collaboration avec les enseignants en charge du B2i.

Photos d'un exemple de tirage: un effectif de 30 élèves dont 1 infecté. L'infecté (rouge) a infecté ses deux voisins ; l'infecté devient remis (vert) et ses deux voisins deviennent infectés (rouges) et il reste 27 élèves sains (bleus)

Exemples d'activités élèves en lycée (Terminale S):

Principe:

La collaboration avec l'enseignant de mathématiques est indispensable dans l'approche et l'utilisation des probabilités pour décider avec lui du vocabulaire à utiliser; on doit aussi demander son expertise pour l'explication de l'arbre des probabilités: " si l'on envisage un taux de contamination de 0.25 entre deux séparateurs, combien de Sensibles seront infectés?"

Une explication de l'arbre des probabilités et des exemples de feuille de calcul Excel à la destination des enseignants mais également utilisables directement par les élèves pour établir le nombre d'infectés entre deux séparateurs est disponible dans ce dossier.

Avant cette application mathématique, on peut proposer à l'élève d'essayer de modéliser ce taux de contamination de 0.25 à l'aide d'un tirage aléatoire au sein d'une populatio d'individus donc de billes dans un récipient...

Par rapport au collège, l'effectif est augmenté; en lycée, la classe-type comporte 35 élèves; disposer d'une planche avec 50 emplacements permet d'envisager:

• un effectif de 35 individus voire davantage.
• un nombre variable de séparateurs
• un nombre variable de vaccinés
• il semble souhaitable de prévoir 4 planches donc 4 postes de 4/5 élèves; il faut gérer les différentes couleurs de billes, noter tous les résultats sur papier et entrer ces mêmes résultats dans le tableur, tous les élèves sont occupés.
• avant de débuter les mesures, le tableau-papier doit avoir été pensé et construit (nombre de colonnes fixé au départ et nombre de lignes correspondant au nombre de tirages donc nombre initialement inconnu)
• en fin de manipulation, le groupe d'élèves doit retrouver le nombre exact de billes dans leurs différents récipients en accord avec le nombre et la couleur des billes sur la planche; le récipient "sain" se remplit peu à peu, rempli au départ, le récipient "remis" se vide peu à peu, le récipient "infecté" connait des variations plus complexes.
• Les billes étant immobilisées dans leur alvéole, il n'est pas indispensable que le nombre total de billes (individus + séparateurs) atteigne le nombre total d'alvéoles disponibles (50 dans notre exemple).
• Prévoir un ordinateur par poste, avec tableur graphique.

Exemple d'activité pratique: 1h30 de TP et 4 postes-élèves. Influence du confinement ou de la vaccination sur la propagation d'une épidémie.

Il ne semble pas opportun dans un premier temps de mélanger la variation des deux paramètres, et il faut partir avec un même taux de contamination de 0.25.

35 minutes:

• 4 postes et 4 nombres de séparateurs différents, par exemple de 1 à 4, avec toujours le même effectif de classe, classiquement 35, ne pas descendre en dessous de 30 individus.
• nombre initial d'infecté constant: 2 par exemple
• manipulation
• mise en commun des fichiers de résultats.

Photos montrant un effectif de 35 élèves, dont 2 infectés avec 3 séparateurs, donc 4 boîtes:

Photo 2 : résultat du premier tirage : les séparateurs sont en gris, 1 infecté (rouge) est dans la première boîte et 1 également dans le troisième

Photo 3: conséquences avec une probabilité d'infection 0.25 en utilisant la feuille Excel, boîte par boîte: dans la première boîte, l'infecté a contaminé 2 individus qui de bleu passent à rouge et l'infecté devient remis. Il passe donc de rouge à vert. Dans la troisième boîte, l'infecté a contaminé 1 individu qui passe de bleu à rouge. L'infecté passant lui de rouge à vert.

35 minutes:

• 4 postes avec 2 séparateurs par exemple et 4 nombre de vaccinés différents, avec toujours un effectif global de 35 et un nombre initial d'infectés de 2
• manipulation
• mise en commun des fichiers de résultats

Photo 4: un effectif de 35 élèves, avec 2 infectés (rouges), 4 vaccinés (jaunes) et avec 2 séparateurs (gris). Il y a donc 29 individus sains (bleus)

20 minutes:

• discuter les résultats et leur cohérence d'un poste à l'autre.
• conclure sur l'influence des 2 paramètres
• réfléchir sur d'autres critères de variations envisageables à aborder lors de la mise en commun en classe entière (par exemple: variation du taux de contamination, lavage des mains,...)

Fiche laboratoire (matériel)

1: le choix des billes:

choisir de préférence des billes de couleur homogène et nettement identifiable.

1.1: exemple de fournisseur

adresse: Bille en Brousse  3 rue Jean Giraudoux  87800 Saint Maurice les Brousses

1.2: nombre de couleurs nécessaires

• une pour sain ou sensible
• une pour infecté ou malade
• une pour remis ou retiré
• plus: une couleur pour les séparateurs ou cloisons, et une couleur pour les vaccinés.

Exemple de couleurs choisies:

• bleu pour sain
• rouge pour infecté
• vert pour remis
• noir pour séparateur
• jaune pour vacciné [si aucune couleur spécifique n'est disponible, on peut prendre la même couleur pour les vaccinés et les remis, un vacciné est alors considéré comme un remis dès le début de la manipulation].

1.3: récipients

prévoir un récipient par catégorie d'individus; chaque récipient doit être bien identifié par 2 étiquettes: une pour la couleur de bille et l'autre pour le compartiment identifié par la couleur; ceci facilite la manipulation des billes. Exemple de récipients utilisables: pots de confitures en verre de 350 à 500 grammes, en fonction du nombre total de billes à contenir.

2: la planche support des billes.

 on peut chosir une "rigole" ou "gouttière" où les billes s'alignent les unes derrière les autres, mais elles ne sont pas manipulables indépendamment les unes des autres.

On peut préférer une planche horizontale creusée d'alvéoles destinées à recevoir les billes et les immobiliser, permettant de les manipuler indépendamment les unes des autres.

Réalisation pratique:

1. dimensions de la planche: on peut utiliser une (ancienne) étagère d'une largeur de 200 à 250mm et d'une longueur variable selon l'effectif de billes envisagé, par exemple 610mm pour 30 billes et 1010mm pour 50 billes. Une largeur de 200 mm minimum semble nécessaire pour offrir aux élèves, un espace de travail confortable.
2. sur les 3 côtés opposés au manipulateur, on fixe un liteau (exemple de section:10mm x 30mm) pour empêcher les billes de rouler hors de la planche.
3. pendant la manipulation, on disposera par exemple un crayon à papier sous la partie avant de la planche pour créer une légère inclinaison qui facilitera la manipulation.
4. pour chaque bille, il faut faire un avant-trou à la cheville à bois et ensuite effectuer un travail à la fraise (fraise par exemple d'un diamètre de 15mm) destiné à creuser l'alvéole qui immobilisera la bille; entre chaque avant-trou, il faut prévoir un espacement de 20mm; en avant du premier avant-trou,ainsi qu'en arrière du dernier avant-trou, prévoir un espace de 15mm; cela donne comme exemple de longueur:

• pour un effectif de 30 billes:[15 x 2]+[20 x 29] = 610mm de longueur totale
• pour un effectif de 50 billes:[15 x 2]+[20 x 49] = 1010mm de longueur totale.

NB: dans le nombre de billes à prévoir, il faut cumuler effectif de la population et séparateurs.