Le Fractiomètre
Le projet s'intitule ''Le Fractiomètre, un nouvel instrument pour l'enseignement des mathématiques''. Dans ce projet M. Mesmoudi a inventé un nouvel instrument pour faire le calcul fractionnaire, la recherche d'une racine carrée et les racines d'un polynôme du 2nd degré d'une manière complètement géométrique et ne nécessitant pas de calculs. Le Fractiomètre est un instrument manuel. Les résultats qu'il donne sont des estimations. M. Mesmoudi travaille avec les élèves du collège sur une version virtuelle avec Scratch et/ou Python.
Description détaillée du projet
L'objectif de ce travail est de définir une nouvelle approche géométrique et pédagogique pour effectuer des opérations sur les fractions enseignées au secondaire. Cette approche vient de la notion d'anneau commutatif intégral (ou champ commutatif) que l'on pourrait étudier au-delà du lycée. Pour rester au niveau des étudiants, nous nous limiterons à des termes simples et compréhensibles. Cette nouvelle approche passera également par les transformations géométriques enseignées à l'école (symétries axiales et centrales, translations, rotations et homothéties) qui mettront en évidence la belle harmonie qui existe entre l'algèbre et la géométrie.
Tout le monde connaît les téléviseurs de format seize-neuvième et s'accorde à dire que le rapport entre la base et la hauteur est toujours égal à cette fraction quelle que soit la taille du téléviseur. Ainsi la fraction 16/9 caractérise cette famille de téléviseurs similaires tout comme la fraction 4/3 qui caractérisait l'ancienne génération de téléviseurs.
Bien que la forme de l'écran du téléviseur soit rectangulaire, on parlera de base (côté sur lequel repose le téléviseur) et de hauteur au lieu de parler de longueur et de largeur. En effet, on distinguera un même rectangle posé horizontalement sur sa longueur ou sur sa largeur. On parlera donc de « rectangles posés » ayant une base et une hauteur. Puisqu'un rectangle a une infinité de rectangles similaires placés (par agrandissement ou réduction) et comme on va manipuler des rectangles pour les étirer en longueur et en largeur on parlera donc de « rectangles posés élastiques ».
A chaque fraction x/y (et par extension un nombre en écriture fractionnaire) on associe dans le plan, muni d'un repère orthonormé, un rectangle posé ABCD de base [AB] de longueur x et de hauteur [AD] de longueur y . Dans ce projet nous traduisons les opérations sur les fractions (ou nombres en écriture fractionnaire) par des manipulations et transformations naturelles des rectangles posés associés.
Les élèves établissent pour chaque opération entre deux fractions l'opération correspondante sur des rectangles posés. Ils établiront également le lien géométrique qui existe entre les rectangles posés correspondant à deux nombres fractionnaires opposés ou inverses.
Les élèves se mettent donc à la place d'un chercheur qui essaie de mettre en place une nouvelle notion et d'en définir les propriétés.
A partir des propriétés que les élèves auront découvertes en quelques semaines, les élèves concrétiseront leur travail en fabriquant un nouvel instrument pour effectuer des opérations sur les fractions manuellement et visuellement en manipulant des rectangles posés. Cet instrument ‘’le Fractiomètre’’ donnera également les valeurs décimales au centième de fraction près par une simple lecture.
De plus, le Fractiomètre peut également être utilisé pour estimer sans calcul le produit de deux nombres, la racine carrée d'un nombre positif et les zéros d'expressions polynomiales du 2e degré.